Ta có:

$D$ đối xứng $H$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HD$

$\Rightarrow AD = AH\quad (1)$

Ta cũng được:

$AB$ là phân giác của $\widehat{HAD}$

$\Rightarrow \widehat{HAD}=2\widehat{HAB}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$AC$ là trung trực của $HE$

$\Rightarrow AE = AH \quad (2)$

$AC$ là phân giác của $\widehat{HAE}$

$\Rightarrow\widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$

Ta được:

$\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=2\widehat{BAC} = 180^o$

$\Rightarrow D, A, E$ thẳng hàng $(3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow A$ là trung điểm $DE$

$D$ đối xứng $H$ qua $AB$

$→AB$ là đường trung trực $DH$

$→AD=AH$

$E$ đối xứng $H$ qua $AC$

$→AC$ là đường trung trực $DE$

$→AH=AE$ 

Vì $\begin{cases}AD=AH\\AH=AE\end{cases}→AD=AE$ (1)

Giả sử: $DH∩AB≡\{F\}$ và $HE∩AC≡\{G\}$

Xét tứ giác $AFHG$:

$\widehat{FAG}=\widehat{AFH}=\widehat{AGH}=90^\circ$

$→\widehat{FHG}=90^\circ$

$→\widehat{FHG}=\widehat{FAG}$

Vì $\begin{cases}AB⊥AC\\DH⊥AB\end{cases}→AC//DH→\widehat{A_1}=\widehat{D}$ (đồng vị)

Vì $\begin{cases}AB⊥AC\\HE⊥AC\end{cases}→AB//HE→\widehat{A_2}=\widehat{E}$ (đồng vị)

Ta có: $\widehat{DHE}+\widehat{D}+\widehat{E}=180^\circ$

$→\widehat{FAG}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^\circ$ 

$→D;A;E$ thẳng hàng (2)

Từ (1);(2) $→DA=EA→A$ là trung điểm $DE$