Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC,\Delta HAB$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}(=90^o)$

$\to\Delta ABC\sim\Delta HBA(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{AC}{HA}$

$\to AB\cdot AH=BH\cdot AC$

b.Ta có: $\Delta ABH$ vuông tại $H$

$\to AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=4$

Do $BI$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{IA}{IH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac53$

$\to \dfrac{IA}{IA+IH}=\dfrac5{5+3}$

$\to \dfrac{AI}{AH}=\dfrac58$

$\to AI=\dfrac58AH=\dfrac52$

$to IH=AH-AI=\dfrac32$

b.Ta có: $AK$ là phân giác $\widehat{HAC}$

$\to \widehat{HAK}=\widehat{KAC}$

Mà $\widehat{BAH}=90^o-\hat B=\hat C$

$\to \widehat{AKB}=\widehat{KAC}+\hat C=\widehat{KAH}+\widehat{HAB}=\widehat{KAB}$

$\to \Delta ABK$ cân tại $B$

Do $BI$ là phân giác $\hat B$

$\to BI\perp AK$

Ta có: $AH\perp BC\to AI\perp BK$

$\to I$ là trực tâm $\Delta ABK$

$\to IK\perp AB$

Do $AB\perp AC$

$\to IK//AC$

d.Gọi $HN\cap IK=D$

Ta có: $IK//AC$

$\to \dfrac{DK}{CN}=\dfrac{HD}{HN}=\dfrac{ID}{AN}$

Do $N$ là trung điểm $AC\to NA=NC$

$\to DI=DK$

$\to D$ là trung điểm $IK$

Xét $\Delta MDI,\Delta MCN$ có:

$\widehat{DIM}=\widehat{MCN}$

$\dfrac{DI}{CN}=\dfrac{2DI}{2CN}=\dfrac{IK}{AC}=\dfrac{MI}{MC}$

$\to \Delta MDI\sim\Delta MNC(c.g.c)$

$\to \widehat{IMD}=\widehat{NMC}$

$\to D, M, N$ thẳng hàng

Do $H, D, N$ thẳng hàng

$\to H, D, M, N$ thẳng hàng

$\to H, M, N$ thẳng hàng