Giải thích các bước giải:

a, ΔAMB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB
⇒ ΔAMB vuông tại M

⇒ $\widehat{AMB}$ = $90^o$

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

CD cắt Ax tại C ⇒ $\widehat{AOC}$ = $\widehat{MOC}$

CD cắt By tại D ⇒ $\widehat{BOD}$ = $\widehat{MOD}$

⇒ $\widehat{COD} = \widehat{MOC} + \widehat{MOD}$

= $\frac{1}{2}.(\widehat{AOC} + \widehat{MOC} + \widehat{BOD} + \widehat{MOD}$

= $\frac{1}{2}.180^o = 90^o$

b, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

CD cắt Ax tại C ⇒ MC = AC mà OA = OM ⇒ OC là trung trực của AM

⇒ OE ⊥ ME ⇒ $\widehat{MEO} = 90^o$

CD cắt By tại D ⇒ MD = BD mà OB = OM ⇒ OD là trung trực của BM

⇒ OF ⊥ MF ⇒ $\widehat{MFO} = 90^o$

Tứ giác EMFO có 3 góc vuông ($\widehat{MFO}$, $\widehat{MEO}$, $\widehat{EMF}$) nên là hình chữ nhật

OC là trung trực của AM và E = OC ∩ AM ⇒ E là trung điểm của AM

OD là trung trực của BM và F = OD ∩ BM ⇒ F là trung điểm của BM

Để EMFO là hình vuông thì ME = MF ⇔ MA = MB

⇔ M nằm chính giữa nửa đường tròn tâm O đường kính AB

c, ΔMAB có E là trung điểm của AM, F là trung điểm của BM

⇒ EF là đường trung bình của ΔMAB

⇒ EF ║ AB (đpcm) và EF = $\frac{1}{2}$AB = R

d, MA ║ DO (cùng ⊥ MB) ⇒ $\widehat{AMC}$ = $\widehat{ODC}$ (đồng vị)

lại có $\widehat{AMC}$ = $\widehat{ABM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung)

⇒ $\widehat{ABM}$ = $\widehat{ODC}$

⇒ 2 tam giác vuông: ΔABM và ΔCDO đồng dạng (g.g)

⇒ $\frac{MA}{MB}$ = $\frac{OC}{OD}$ ⇒ MA.OD = MB.OC (đpcm)