28) Ta có:

$AM, AP$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M, P$

$\Rightarrow AM = AN$

mà $OM = OP=R$

nên $OA$ là trung trực của $MP$

$\Rightarrow OA\perp MP;\, EM = EP$

Chứng minh tương tự, ta được:

$OB\perp MN;\, MF = FN$

$OC\perp NP;\, NG = GP$

Do đó:

$FH$ là đường trung bình của $∆MNP$

$\Rightarrow FG//MP$

mà $EO\perp MP\quad (OA\perp MP)$

nên $EO\perp FG$

Chứng minh tương tự, ta được:

$GO\perp EF\quad (OC\perp NP)$

$FO\perp EG\quad (OB\perp MN)$

Do đó $O$ là trực tâm của $∆EFG$

29a) Ta có: $MA, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A, C$

$\Rightarrow MA = MC$

Tương tự, ta được: $NB = NC$

Do đó: $MA + NB = MC + NC = MN$

b) Ta có:

$AM//BN$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{NI}{IA}=\dfrac{NB}{MA}$

$\to \dfrac{NI}{IA} = \dfrac{NC}{MC}$

$\to \dfrac{NI}{NA}=\dfrac{NC}{MN}$

$\to CI//MA$ (Theo định lý $Thales$ đảo)

mà $MA\perp AB$

nên $CI\perp AB$

c) Ta có: $CE//AB//CD$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được

$+)\quad \dfrac{CI}{MB}=\dfrac{MC}{MN}$

$+)\quad \dfrac{IE}{MB}=\dfrac{AI}{NA}$

$+)\quad \dfrac{NI}{IA}=\dfrac{NC}{MC}$

$\Rightarrow \dfrac{IA}{NA}=\dfrac{MC}{MN}$

Do đó: $\dfrac{CI}{MB}=\dfrac{IE}{MB}$

$\Rightarrow CI = IE$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $CE$

30) Ta có công thức:

$r = \dfrac{2S}{a + b + c} = \dfrac{S}{p}= (p-a)\tan\dfrac{A}{2} = (p-b)\tan\dfrac{B}{2}=(p-c)\tan\dfrac{C}{2}$

Ta được:

$r_1= \dfrac{AB + AC - BC}{2}\cdot\tan\dfrac{A}{2}$

Do $∆ABC$ vuông tại $A$

Nên $\dfrac{\widehat{A}}{2}=45^o$

$\Rightarrow r_1= \dfrac{AB + AC - BC}{2}$

Tương tự, ta được:

$r_2 = \dfrac{AH + BH - AB}{2}$

$r_3 = \dfrac{AH + CH - AC}{2}$

Áp dụng khai triển hằng đẳng thức và định lý Pytago, ta được:

$r_1^2 = r_2^2 + r_3^2$