Giải thích các bước giải:

a, ΔABC có M là trung điểm của AB, H là trung điểm của BC
⇒ MH là đường trung bình của ΔABC

⇒ MH ║ AC hay MH ║ AN

ΔABC có N là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC
⇒ NH là đường trung bình của ΔABC

⇒ NH ║ AB hay NH ║ AM

Tứ giác AMHN có MH ║ AN, NH ║ AM ⇒ AMHN là hình bình hành

Mà AM = AN = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$AC

⇒ AMHN là hình thoi

b, Tứ giác AEBH có 2 đường chéo AB, EH cắt nhau tại M là trung điểm mỗi đường

⇒ AEBH là hình bình hành

ΔABC cân tại A có AH là trung tuyến ⇒ AH cũng là đường cao ⇒ $\widehat{AHB}$ = $90^o$

AEBH là hình bình hành có $\widehat{AHB}$ = $90^o$

⇒ AEBH là hình chữ nhật (đpcm)

c, ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

⇒ HK.AC = AH.HC (= 2.$S_{AHC}$) (đpcm)

 d, ΔAPK vuông tại P ⇒ $\widehat{PAK}$ + $\widehat{AKP}$ = $90^o$

     ΔAIK vuông tại K ⇒ $\widehat{IAK}$ + $\widehat{AIK}$ = $90^o$

mà $\widehat{AKP}$ = $\widehat{AIK}$ (cùng phụ với $\widehat{HKB}$)

⇒ $\widehat{PAK}$ = $\widehat{IAK}$ ⇒ A, P, I thẳng hàng.