Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Do $MA,MB$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $M$ nên $MA=MB$

Mà $OA=OB$

$\to OM$ là trung trực của $AB$

$\to OM\bot AB=I$ (ĐPCM)

b) Ta có:

$\Delta AMB$ có $MA=MB$ $\to \Delta AMB$ cân ở $M$

Mà $MI\bot AB=I$ $\to MI$ là phân giác của góc $AMB$ $ \Rightarrow \widehat {AMO} = \widehat {BMO}$

Lại có:

Xét trong đường tròn (O) có:

$\begin{array}{l}
\widehat {DAC} = \widehat {ABC}\\
 \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {IBO}\\
 \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BMO}\left( {\widehat {BMO} = \widehat {IBO}\left( { + \widehat {BOM} = {{90}^0}} \right)} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {AMO}\\
 \Rightarrow AC//OM
\end{array}$

ĐPCM.

c) Xét $\Delta DAC;\Delta DBA$ có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DAC} = \widehat {DBA}\\
\widehat Dchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta DAC \sim \Delta DBA\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{DC}}{{DA}}\\
 \Rightarrow A{D^2} = BD.BC
\end{array}$

ĐPCM

d) Ta có:

$I$ là trung điểm của $AB$ $\to AI=\dfrac{AB}{2}=12cm$

Xét $\Delta AIO;\widehat {AIO} = {90^0};AO\left( { = R} \right) = 15cm;AI = 12cm$

$ \Rightarrow OI = \sqrt {A{O^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9cm$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta AMO;\widehat {MAO} = {90^0}\left( {OA \bot MA = A} \right);AO = 15cm;OI = 9cm\\
 \Rightarrow A{O^2} = OI.OM\\
 \Rightarrow OM = \dfrac{{A{O^2}}}{{OI}} = \dfrac{{{{15}^2}}}{9} = 25cm
\end{array}$

Vậy $OM = 25cm$