Đáp án:

`ĐKXĐ : -1 ≤ x ≤ 1`

 Đặt `\sqrt{1 - x^2} = a` phương trình sẽ thành

`\sqrt{1 + a} = x(1 + 2a)`

`=> 1 + a = x^2(1 + 2a)^2`

`=> 1 + a = x^2 + 4x^2a + 4a^2x^2`

`=> x^2 + 4x^2a + 4a^2x^2 - a - 1= 0`

Có : ` \sqrt{1 - x^2} = a` 

`=> 1 - x^2 = a^2 => 1 = x^2 + a^2`

`=> x^2 + 4x^2a + 4a^2x^2 - a - x^2 - a^2 = 0`

`=> 4x^2a + 4a^2x^2 - a - a^2 = 0`

`=> 4ax^2(1 + a) - a(1 + a) = 0`

`=> a(1 + a)(4x^2 - 1) = 0`

`=> a(1 + a)(2x - 1)(2x + 1) = 0`

Th1 : `a = 0`

`=> \sqrt{1 - x^2}   =0`

`=> 1 - x^2 = 0`

`=> x^2 = 1`

`=> x = ±1`

th2 : `1 + a = 0`

`=> \sqrt{1 - x^2} + 1 = 0`

=> Vô nghiệm Vì ` \sqrt{1 - x^2}  + 1 > 0`

th3 : `2x - 1 = 0`

`=> 2x = 1`

`=> x = 1/2`

th4 : `2x + 1 = 0`

`=> 2x = -1`

`=> x = -1/2`

Dễ thấy :

` \sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}} ≥ 0`

`=> x(1 + 2 \sqrt{1 - x^2}) ≥ 0`

mà ` 2 \sqrt{1 - x^2} + 1 > 0`

`=> x ≥ 0`

Vậy `S = {1 ; 1/2}`

Giải thích các bước giải:

 

Đáp án:

 $S=\left\{\dfrac{1}{2};1\right\}$

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: $-1\le x\le 1$

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})$

Đặt $t=\sqrt{1-x^2}\ge 0$

$⇒t^2=1-x^2$

$⇒x^2=1-t^2$

$Pt⇔\sqrt{1+t}=x(1+2t)$

$⇔1+t=x^2(1+2t)^2\,\,(ĐK:\,x\ge 0)$

$⇔1+t=(1-t^2)(1+2t)^2$

$⇔1+t=(1-t)(1+t)(1+2t)^2$

$⇔(1-t)(1+2t)^2=1$

$⇔(1-t)(1+4t+4t^2)=1$

$⇔1+4t+4t^2-t-4t^2-4t^3=1$

$⇔4t^3-3t=0$

$⇔t(4t^2-3)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}t=0\\t^2=\dfrac{3}{4}\end{array} \right.$

TH1: $t=0$

$⇒1-x^2=0$

$⇒\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-1\,(L)\end{array} \right.$

TH2: $t^2=\dfrac{3}{4}$

$⇒1-x^2=\dfrac{3}{4}$

$⇔x^2=\dfrac{1}{4}⇒\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{2}\,(L)\end{array} \right.$

Vậy $S=\left\{\dfrac{1}{2};1\right\}$.