2) Dấu hiệu 2: Tứ giác có cac cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

Xét tứ giác $ABCD$ có $AB = CD; \, BC = AD$

$\Rightarrow ΔABC = ΔCDA \, (c.c.c)$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{BAC} = \widehat{DCA}\\\widehat{BCA} = \widehat{DAC}\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}AB//CD\\BC//AD\end{cases}$

$\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành

3) Dấu hiệu 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Xét tứ giác $ABCD$ có $AB//CD;\, AB=CD$

Ta có:

$AB = CD$

$\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (so le trong)

$AC:$ cạnh chung

$\Rightarrow ΔBAC = ΔDCA\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BCA} = \widehat{DAC}$

$\Rightarrow BC//AD$

$\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành

4) Dấu hiệu 4: Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{C};\, \widehat{B} = \widehat{D}$

Ta có:

$\widehat{A} + \widehat{C} + \widehat{B} + \widehat{D} = 360^o$

$\Leftrightarrow 2\widehat{A} + 2\widehat{D} = 360^o$

$\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{D} = 180^o$

mà $\widehat{A}$ và $ \widehat{D}$ là hai góc trong cùng phía

$\Rightarrow AB//CD$

Ta có: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^o$

$\Rightarrow \widehat{C} + \widehat{D} = 180^o$

mà $\widehat{C}$ và $\widehat{D}$ là hai góc trong cùng phía

$\Rightarrow BC//AD$

Do đó $ABCD$ là hình bình hành

5) Dấu hiệu 5: Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

Xét tứ giác $ABCD$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$ và $OA = OC;\, OB = OD$

Ta có:

$OA = OC$

$OB = OD$

$\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔAOB = ΔCOD \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BAO} = \widehat{DCO}$

$\Rightarrow AB//CD$

Chứng minh tương tự, ta được:

$ΔAOD = ΔCOB \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{DAO} = \widehat{BCO}$

$\Rightarrow BC//AD$

Do đó $ABCD$ là hình bình hành

 

Bạn xem hình