Giải thích các bước giải:

a, Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến BC của (O) cắt nhau tại D

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: DB = DA (1)

Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến BC của (I) cắt nhau tại D

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: DC = DA (2)

Từ (1), (2) suy ra DB = DC ⇒ D là trung điểm của BC (đpcm)

b, ΔABC có AD là trung tuyến ứng với cạnh BC và bằng nửa cạnh ấy

⇒ ΔABC vuông tại A (đpcm)

Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến BC của (O) cắt nhau tại D

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $\widehat{ODB}$ = $\widehat{ODA}$ (3)

Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến BC của (I) cắt nhau tại D

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $\widehat{IDC}$ = $\widehat{IDA}$ (4)

Từ (3), (4) suy ra: $\widehat{ODA}$ + $\widehat{IDA}$ = $\widehat{ODB}$ + $\widehat{IDC}$ 

⇒ $\widehat{ODI}$ = $\frac{1}{2}$.($\widehat{ODA}$ + $\widehat{IDA}$ + $\widehat{ODB}$ + $\widehat{IDC}$) = $\frac{1}{2}$.$180^{o}$ = $90^{o}$

⇒ ΔODI vuông tại D (đpcm)

c, AD là tiếp tuyến chung của (O) và (I) ⇒ AD ⊥ OI

DA = BC : 2 ⇒ A thuộc đường tròn đường kính BC

Vì OI tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại điểm A và OI ⊥ DA 

Nên OI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC (đpcm)

d, ΔODI vuông tại D có DA là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

DA = $\sqrt[]{OA.AI}$ = $\sqrt[]{R.r}$ 

⇒ BC = 2.DA = 2.$\sqrt[]{R.r}$