a) $ΔBEC$ có:

$\widehat{E} = 90^o \quad (BE\perp AC)$

$\widehat{EBC} = 50^o \quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{ECB} = 90^o - \widehat{EBC} = 90^o - 50^o = 40^o$

Ta có:

$\dfrac{CE}{BC} = \cos\widehat{ECB}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{CE}{\cos\widehat{ECB}} = \dfrac{4}{\cos40^o} \approx 5,22\, cm$

$\dfrac{BE}{CE} = \tan\widehat{ECB}$

$\Rightarrow BE = CE.\tan\widehat{ECB} = 4.\tan40^o \approx 3,36\, cm$

b) Xét $ΔABC$ có:

$BE,CF$ là đường cao

$\Rightarrow H$ là trực tâm

$\Rightarrow AH\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{FCB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

Xét $ΔAFH$ và $ΔCFB$ có:

$\widehat{AFH} = \widehat{CFB} = 90^o$

$\widehat{HAB} = \widehat{FCB} \quad (cmt)$

Do đó $ΔAFH \sim ΔCFB \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{FC} = \dfrac{HF}{FB}$

$\Rightarrow HF.FC = AF.FB$

c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$

Xét $ΔBEC$ vuông tại $E$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow ME = MB = MC$

Chứng minh tương tự, ta được:

$MF = MB = MC$

$\Rightarrow B,E,C,F$ cùng thuộc đường tròn tâm $M$

$\Rightarrow M\equiv K$

Ta có:

$KF = KC = R$

$\Rightarrow ΔKFC$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KFC} = \widehat{KCF} = \widehat{BCF}$

Xét $ΔAFH$ vuông tại $F$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $AH$

$\Rightarrow IA = IF = IH$

$\Rightarrow ΔIFA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IFA}=\widehat{IAF} = \widehat{HAB}$

mà $\widehat{HAB} = \widehat{BCF}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

nên $\widehat{IFA} = \widehat{KFC}$

Ta lại có:

$\widehat{IFA} + \widehat{IFH} = \widehat{AFH} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{KFC} + \widehat{IFH} = \widehat{IFK} =90^o$

$\Rightarrow FK\perp FI$

d) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

Ta có: $AH\perp BC$

$\Rightarrow \begin{cases}BD = AB.\cos B\\CD = AC.\cos C\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}BD = AB.\dfrac{BF}{BC}\\CD = AC.\dfrac{CE}{BC}\end{cases}$

$\Rightarrow BD + CD = \dfrac{AB.BF}{BC} + \dfrac{AC.CE}{BC}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{AB.BF}{BC} + \dfrac{AC.CE}{BC}$

$\Rightarrow BC^2 = AB.BF + AC.CE$