Giải thích các bước giải:

$\text{Trên tia đối tia AC lấy D sao cho AD=AC}$

$\text{Gọi E là giao điểm BQ và AD}$

$\text{Lấy F trên tia đối tia MP sao cho MF=MP}$

$\text{ΔBCD có AM là đường trung bình}$

$⇒ AM//BD$

$\text{⇒ Tứ giác ABDQ là hình thang}$

$\text{Ta có: AD=BQ(=AC)}$

$\text{⇒ Tứ giác ABDQ là hình thang cân}$

$\text{⇒ $\widehat{BDQ}=\widehat{ABD}$}$

$\text{Ta có: ΔABD = ΔQDB (c.g.c)}$

$⇒ \widehat{ADB}=\widehat{QBD}$

$⇒ \widehat{BDQ}-\widehat{ADB}=\widehat{ABD}-\widehat{QBD}$

$⇒ \widehat{ADQ}=\widehat{ABQ}$

$\text{Xét ΔADQ và ΔQBA}$

$\text{Có: DQ=AB (hình thang cân)}$

$\text{$\widehat{ADQ}=\widehat{ABQ}$ (cmt)}$

$\text{DA=BQ (=AC)}$

$\text{⇒ ΔADQ = ΔQBA (c.g.c)}$

$⇒ \widehat{QAD}=\widehat{AQB}$

$\text{và $\widehat{QAD}=\widehat{PAC}$ (đối đỉnh)}$

$⇒ \widehat{AQB}=\widehat{PAC}$ $(1)$

$\text{Mặt khác:$ΔMPC = ΔMFB$ (c.g.c)}$

$⇒ CP=FB$

$\text{và $CP=AB$ (gt) ⇒ $FB=AB$}$

$\text{⇒ ΔABF cân tại B}$

$⇒ \widehat{BAF}=\widehat{BFA}$

$\text{và $\widehat{CPM}=\widehat{BFA}$ ($ΔMPC = ΔMFB$)}$

$⇒ \widehat{BAF}=\widehat{CPM}$

$⇒ 180^0-\widehat{BAF}=180^0-\widehat{CPM}$

$⇒ \widehat{BAQ}=\widehat{CPA}$ $(2)$

$\text{Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{QBA}=\widehat{ACP}$}$

$\text{Xét ΔABQ và ΔPCA}$

$\text{Có: AB=CP (gt)}$

$\widehat{QBA}=\widehat{ACP}$ $(cmt)$

$BQ=AC$ $(gt)$

$⇒ ΔABQ = ΔPCA$ $(c.g.c)$

$⇒ AQ=AP$ $(ĐPCM)$