a) Xét $ΔABC$ có:

$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB \quad (gt)$

$BN = NC = \dfrac{1}{2}BC \quad (gt)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//AC;\, MN = \dfrac{1}{2}AC$

Tương tự với $ΔADC$ ta được:

$PQ//AC;\, PQ = \dfrac{1}{2}AC$

Do đó: $MN//PQ;\, MN = PQ$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành

b) Ta có:

$ABCD$ là hình thang cân

$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$

$DP = PC = \dfrac{1}{2}CD \quad (gt)$

$\Rightarrow MP$ là đường trung trực chung của 2 đáy

$\Rightarrow MP\perp AB;\, MP\perp BC$

Ta lại có:

$NQ$ là đường trung bình của hình thang

$\Rightarrow NQ//AB//CD$

$\Rightarrow MP\perp NQ$

mà $MNPQ$ là hình bình hành

nên $MNPQ$ là hình thoi

$\Rightarrow MP$ là phân giác của $\widehat{QMN}$