Đáp án:

+  \(1 - \sqrt 2  < k < 1 + \sqrt 2 \): \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) không có điểm chung.

+ \(k = 1 \pm \sqrt 2 \): \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có 1 điểm chung.

+ \(\left[ \begin{array}{l}k > 1 + \sqrt 2 \\k < 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\): \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có 2 điểm chung.

Giải thích các bước giải:

\(y = \frac{1}{2}{x^2} - x + 1\).

Phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có dạng:

\(\left( d \right):\,\,y = k\left( {x - 2} \right) = kx - 2k\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2} - x + 1 = kx - 2k\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = 2kx - 4k\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {k + 1} \right)x + 4k + 2 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của\(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {k + 1} \right)^2} - 4k - 2\\\,\,\,\,\,\, = {k^2} + 2k + 1 - 4k - 2\\\,\,\,\,\,\, = {k^2} - 2k - 1\end{array}\)

TH1: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {k^2} - 2k - 1 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2  < k < 1 + \sqrt 2 \)

Khi đó (*) vô nghiệm hay \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) không có điểm chung.

TH2: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow k = 1 \pm \sqrt 2 \).

Khi đó (*) có nghiệm kép hay \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có 1 điểm chung.

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > 1 + \sqrt 2 \\k < 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Khi đó (*) có 2 nghiệm phân biệt hay \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có 2 điểm chung.

Kết luận:

+  \(1 - \sqrt 2  < k < 1 + \sqrt 2 \): \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) không có điểm chung.

+ \(k = 1 \pm \sqrt 2 \): \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có 1 điểm chung.

+ \(\left[ \begin{array}{l}k > 1 + \sqrt 2 \\k < 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\): \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có 2 điểm chung.