3) Ta có: $a^{2n+1} + b^{2n+1} \quad \vdots \quad a + b \quad (\forall n \in \Bbb N)$

$2019^{2019} + 2021^{2019} \quad \vdots \quad 2019 + 2021$

$\to 2019^{2019} + 2021^{2019} \quad \vdots \quad 4040$

$\to 2019^{2019} + 2021^{2019} \quad \vdots \quad 2.2020$

$\to 2019^{2019} + 2021^{2019} \quad \vdots \quad 2020$

4) Gọi $R= ax + b$ là phần dư của phép chia $f(x)$ cho $g(x)$

Do $f(x)\quad \vdots \quad g(x)$

nên $R = 0$

Ta có: $g(x) = (x+1)(x+3)$

Áp dụng định lý Bézout ta được:

$\quad \begin{cases}R = f(-1)\\R = f(-3)\end{cases}$

$\to \begin{cases}0 = a.(-1)^3 + b.(-1)  - 24\\0=a.(-3)^2 + b.(-3) - 24\end{cases}$

$\to \begin{cases}a + b = -24\\9a + b= -8\end{cases}$

$\to \begin{cases}a = 2\\b = -26\end{cases}$

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

3) Áp dụng tính chất $ a^{n} + b^{n}$ chia hết cho

$a + b$ với mọi $n ∈ N$

$ ⇒ A = 2019^{2019} + 2021^{2019}$ chia hết cho 

$ 2019 + 2021 = 4040 = 2.2020$

$ ⇒ A $chia hết cho $2020$

4) $g(x) = x² + 4x + 3 = x² + 3x + x + 3 $

$ = x(x + 3) + x + 3 = (x + 3)(x + 1)$

$f(x) $ chia hết $g(x) ⇔ f(x) = g(x).h(x)$

với $h(x)$ là nhị thức bậc nhất

$ ⇔ ax³ + bx - 24 = (x + 3)(x + 1)h(x) (*)$

lần lượt hay $ x= - 3; x = - 1$ vào $(*)$ ta có:

$ a(- 3)³ + b(- 3) - 24 = 0 ⇔ 9a + b = - 8 (1)$

$ a(- 1)³ + b(- 1) - 24 = 0 ⇔ a + b = - 24(2)$

$(1) - (2) : 8a = 16 ⇒ a = 2; ⇒ b = - 26$