Từ điều kiện ban đầu ta có

$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc = 0$

$\Leftrightarrow (a + b+c)[(a+b)^2 + c^2 - c(a+b)] - 3ab(a + b + c) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + b^2 + 2ab + c^2 - c(a+b) - 3ab) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$

Suy ra

$a + b + c = 0$ hoặc $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$

Do $a + b + c$ ở dưới mẫu nên $a + b + c \neq 0$. Suy ra

$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$

Ta lại có bđt

$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

Suy ra

$Q = \dfrac{10a^2 + 2018 a^2 - 2019a^2}{(3a)^2} = \dfrac{10+2018-2019}{9} = \dfrac{9}{9} = 1$

Vậy $Q = 1$.