Giải thích các bước giải:

 a,

Tam giác ABC cân tại A nên AD vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. Hay D là trung điểm BC

E đối xứng với D qua O nên O là trung điểm DE

Tứ giác AECD có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên ADCE là hình bình hành

Mặt khác AD vuông góc với BC nên AECD là hình chữ nhật

b,

AECD là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}
AE//CD\\
AE = CD
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AE//BD\\
AE = BD
\end{array} \right.\)

Tứ giác AEDB có \(\left\{ \begin{array}{l}
AE//BD\\
AE = BD
\end{array} \right.\) nên AEDB là hình bình hành

Suy ra 2 đường chéo AD và BE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay I là trung điểm BE

c,

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ADB vuông tại D ta có:

\[\begin{array}{l}
A{D^2} + B{D^2} = A{B^2}\\
 \Leftrightarrow A{D^2} + {6^2} = {10^2}\\
 \Rightarrow AD = 8\left( {cm} \right)
\end{array}\]

O là trung điểm AC, D là trung điểm BC nên:

\({S_{AOD}} = \frac{1}{2}{S_{ADC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{8}.8.12 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

d,

Từ giả thiết suy ra K là trung điểm AB
DO là đường trung bình trong tam giác ABC nên DO//AB hay DE//AK

Do đó AEDK là hình thang

Để AEDK là hình thang thì DK=AE

DK là đường trung bình trong tam giác ABC nên \(DK = \frac{1}{2}AC\)

AECD là hình chữ nhật nên \(AE = DC = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(AC = BC = AB\) hay tam giác ABC là tam giác đều.