a) Ta có:

$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$

$DN = NC = \dfrac{1}{2}CD \quad (gt)$

$AB = CD \quad (gt)$

$\Rightarrow BM = DN$

Xét tứ giác $BMDN$ có:

$BM = DN\quad (cmt)$

$BM//DN\quad (AB//CD)$

Do đó $BMDN$ là hình bình hành

b) Xét $ΔABK$ có:

$AM = BM\quad (gt)$

$IM//BK \quad (DM//BN)$

$\Rightarrow AI = IK \quad (1)$

Xét $ΔCDI$ có:

$CN = ND \quad (gt)$

$NK//DI\quad (DM//BN)$

$\Rightarrow CK = KI \quad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow AI = IK = KC$

c) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$ của hình bình hành $ABCD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm BD$

Ta lại có: $BD$ là đường chéo hình bình hành $BMDN$

$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $MN$

Do đó: $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$

d) Xét $ΔAMI$ và $ΔCNK$ có:

$\widehat{MAI} = \widehat{NCK}$ (so le trong)

$AM = CN$ (câu a)

$AI = CK$ (câu b)

Do đó $ΔAMI = ΔCNK \, (c.g.c)$

$\Rightarrow IM = NK$

Ta lại có: $IM//NK \quad (DM//BN)$

Do đó $MINK$ là hình bình hành