Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Xét tứ giác $CHMK$ có: $\widehat {HCK} = \widehat {MHC} = \widehat {MKC} = {90^0}$

$\to CHMK$ là hình chữ nhật.

b) Ta có:

$MH\bot AC;AB\bot AC\to MH//AB$

Mà $M$ là trung điểm của $AB$; $H\in AC$

Nên $H$ là trung điểm của $AC$.

c) Chứng minh tương tự câu b ta có: $K$ là trung điểm của $BC$

Khi đó: $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ 

$ \Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AB$

Xét $\Delta ABC;\widehat {ACB} = {90^0};AC = 9cm;BC = 12cm$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}}  = 15cm\\
 \Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{15}}{2} = 7,5cm
\end{array}$

Vậy $HK = 7,5cm$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta CHE;\Delta AHM\\
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CHE} = \widehat {AHM}\left( {dd} \right)\\
CH = AH\\
\widehat {HCE} = \widehat {HAM}\left( {slt:CE//AM} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CHE = \Delta AHM\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow CE = AM
\end{array}$

Mà $CE//AM$ $\to AECM$ là hình bình hành.

Mặt khác: $CM = AM$ (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Suy ra: $AECM$ là hình thoi.

e) Ta có:

$\Delta ABC$ có $CM,AK$ lần lượt là trung tuyến ứng với $AB,BC$ mà $AK\cap CM=I$

$\to I$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$\begin{array}{l}
 \to CI = \dfrac{2}{3}CM\\
 \to CI = 2MI
\end{array}$

Ta có đpcm.