a) Chứng minh \(PQ = AP + BQ.\)

Ta có: \(PE,\,\,PA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(P \Rightarrow PE = PA\,\,\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(QE,\,\,QB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(Q \Rightarrow QE = QB\,\,\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(PQ = PE + EQ\)

\( \Rightarrow PQ = PA + QB\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Chứng minh \(\Delta PQO\) vuông.

Ta có: \(PE,\,\,PA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(P \Rightarrow PO\,\,\)là phân giác của \(\angle AOE\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(QE,\,\,QB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(Q \Rightarrow OQ\) là phân giác của \(\angle BOE\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(\angle AOE,\,\,\angle BOE\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow OQ,\,\,PO\) là hai đường phân giác của hai góc kề bù

\( \Rightarrow OQ \bot OP \Rightarrow \Delta OPQ\) vuông tại \(O\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Chứng minh \(BF \bot EN.\)

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow OM \bot EF\)

Mà \(BH \bot EF\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow OM//BH \Rightarrow OM//BN\)

Xét \(\Delta ANB\) ta có:

\(OM//BN\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(O\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AN\) (định lý đảo).

Xét tứ giác \(AENF\) ta có:

\(AN \cap EF = \left\{ M \right\}\) và \(M\) là trung điểm của \(AN,\,\,EF\)

\( \Rightarrow AENF\) là hình bình hành. (dhnb)

\( \Rightarrow EN//AF\)

Ta có:\(\Delta ABF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle AFB = {90^0}\,\,\,hay\,\,AF \bot BF.\)

\( \Rightarrow EN \bot BF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\) (từ song song đến vuông góc).