Giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát, Giả sử $c$=min{$a;b;c$}

Ta có đánh giá:

$b^2+c^2 \le b^2+\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{3c^2}{4} \le b^2+\dfrac{c^2}{4} + \dfrac{3bc}{4} \le b^2+\dfrac{c^2}{4} + bc$

$=> b^2+c^2 \le (b+\dfrac{c}{2})^2$ $(1)$

Tương tự: $a^2+c^2 \le (a+\dfrac{c}{2})^2$ $(2)$

Lấy $(1)+(2)$, ta được: $a^2+b^2+c^2 \le (b+\dfrac{c}{2})^2 + (a+\dfrac{c}{2})^2$

$<=> a^2+b^2 \le (b+\dfrac{c}{2})^2 + (a+\dfrac{c}{2})^2 - c^2 \le (b+\dfrac{c}{2})^2 + (a+\dfrac{c}{2})^2$

Ta đánh giá được: $a^2+b^2 \le (b+\dfrac{c}{2})^2 + (a+\dfrac{c}{2})^2$

Do đó bất đẳng thức trở thành:

$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+c^2} \ge \dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^2+(b+\dfrac{c}{2})^2} + \dfrac{1}{(b+\dfrac{c}{2})^2} + \dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si:

$\dfrac{1}{(b+\dfrac{c}{2})^2} + \dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^2} \ge \dfrac{2}{(b+\dfrac{c}{2})(a+\dfrac{c}{2})}$ 

$=>$ Bất đẳng thức trở thành: 

$VT \ge (\dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^2+(b+\dfrac{c}{2})^2} + \dfrac{1}{2(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2})} )+ \dfrac{3}{2(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2})}$

Ta có: ( Theo bất đẳng thức Svac-sơ )

$\dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^2+(b+\dfrac{c}{2})^2} + \dfrac{1}{2(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2})} \ge \dfrac{4}{(a+\dfrac{c}{2})^2+(b+\dfrac{c}{2})^2 + 2(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2})} $

$= \dfrac{4}{(a+b+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2})^2} = \dfrac{4}{9}$ $(3)$

Và: ( Theo bất đẳng thức Co-si )

$\dfrac{3}{2(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2})}=\dfrac{6}{4(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2})} \ge \dfrac{6}{(a+b+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2})^2} \ge \dfrac{6}{9}$ $(4)$

Kết hợp $(3)$ và $(4)$ lại, ta được:

$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+c^2} \ge \dfrac{10}{9}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $P = \dfrac{10}{9}$

Dấu bằng xảy ra khi: $(a;b;c) = (\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0)$ và các hoán vị.

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị

Như vậy không mất tính tổng quát giả sử \(c\) là biến nhỏ nhất trong 3 biến \(a,b,c\)

Dễ dàng thấy:

\(b^2+c^2\le \left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2\\c^2+a^2\le \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2\)

Đặt \(b+\dfrac{c}{2}=y, a+\dfrac{c}{2}=x\to x+y=a+b+c\le 3\)

\(\to b^2+c^2\le y^2,c^2+a^2\le x^2\\\to a^2+b^2+c^2\le x^2+y^2\\\to a^2+b^2\le x^2+y^2\)

Khi đó:

\(P\ge \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\)

Theo Cauchy có: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge \dfrac{2}{xy}\)

\(\to P\ge \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}\\\ge \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{3}{2xy}\)

Theo Svac-xơ có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge \dfrac{4}{(x+y)^2}\ge \dfrac{4}{3^2}=\dfrac{4}{9}\)

Theo Cauchy có: \(ab\le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le \dfrac{3^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}\)

\(\to \dfrac{3}{2xy}\ge \dfrac{3}{2.\dfrac{9}{4}}=\dfrac{2}{3}\\\to P\ge \dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{9}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị