Đây là câu bất trong đề HN hôm qua thi. 

Tìm \(max\).

\(3-P=\dfrac{1+ab-ab}{1+ab}+\dfrac{1+bc-bc}{1+bc}+\dfrac{1+ca-ac}{1+ca}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\)

Theo Svac-xơ có: \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge \dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\)

Ta có BĐT phụ: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz(x,y,z>0\)

\(\to 3(xy+yz+xz)\le (x+y+z)^2\\\to xy+yz+xz\le \dfrac{(x+y+z)^2}{3}\)

Áp dụng vào bài ta được: \(ab+bc+ac\le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{4}{3}\)
\(\to 3-P\ge \dfrac{9}{3+\dfrac{4}{3}}=\dfrac{27}{13}\\\to P\le \dfrac{12}{13}\)

Dấu "=" xảy ra tại: \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Tìm \(min\).

Dự đoán \((a;b;c)=(1;1;0)\) và các hoán bị.

Nên không mất tính tổng quát giả sử \(c\) là biến nhỏ nhất trong 3 biến \(a,b,c\)

Từ điều kiện \(0\le a,b,c\le 1\) ta cũng có: \(a-1\le 0,b-1\le 0,c-1\le 0\)

\(\to (a-1)(b-1)\ge 0\\\to ab-a-b+1\ge 0\\\to ab+1\ge a+b\)

Tương tự: \(bc+1\ge b+c, ac+1\ge a+c\)

\(\to ab+bc+ac\ge 2(a+b+c)-3=2.2-3=1\)

Mặt khác: \(ab+1\le 2\to \dfrac{ab}{ab+1}\ge \dfrac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{bc}{bc+1}\ge\dfrac{bc}{2},\dfrac{ca}{ca+1}\ge \dfrac{ca}{2}\)

\(\to P\ge \dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge \dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \((a;b;c)=(1;1;0)\) và các hoán vị.