Câu 52

a) Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, $x_1 < x_2$. Khi đó ta có

$y(x_1) - y(x_2) = ax_1 + b - (ax_2 + b)$

$= ax_1 - ax_2$

$= a(x_1 - x_2)$

Để hso đồng biến thì

$y(x_1) < y(x_2)$

$\Leftrightarrow y(x_1) - y(x_2) < 0$

$\Leftrightarrow a(x_1 - x_2) < 0$

$\Leftrightarrow a > 0$ (do $x_1 - x_2 < 0)$

Vậy $a > 0$ thì hso đồng biến

Để hso nghịch biến thì

$y(x_1) > y(x_2)$

$\Leftrightarrow y(x_1) - y(x_2) > 0$

$\Leftrightarrow a(x_1 - x_2) > 0$

$\Leftrightarrow a < 0$ (do $x_1 - x_2 < 0)$

Vậy $a < 0$ thì hso nghịch biến.

b) $y = ax^3$

Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, $x_1 < x_2$. Khi đó ta có

$y(x_1) - y(x_2) =ax_1^3 - ax_2^3$

$= a(x_1^3 - x_2^3)$

$= a(x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)$

Để hso đồng biến thì

$y(x_1) < y(x_2)$

$\Leftrightarrow y(x_1) - y(x_2) < 0$

$\Leftrightarrow a(x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x^2) < 0$

$\Leftrightarrow a(x_1 - x_2) < 0$ (do $x_1^2 + x_1 x_2 + x^2 > 0$ với mọi $x_1, x_2$)

$\Leftrightarrow a > 0$ (do $x_1 - x_2 < 0)$

Vậy $a > 0$ thì hso đồng biến.

Để hso nghịch biến thì

$y(x_1) > y(x_2)$

$\Leftrightarrow y(x_1) - y(x_2) > 0$

$\Leftrightarrow a(x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x^2) > 0$

$\Leftrightarrow a(x_1 - x_2) > 0$ (do $x_1^2 + x_1 x_2 + x^2 > 0$ với mọi $x_1, x_2$)

$\Leftrightarrow a < 0$ (do $x_1 - x_2 < 0)$

Vậy $a < 0$ thì hso đồng biến.