Đáp án:

$\left( {m;n} \right) = \left( {1;2} \right)$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

${3^m} - n! = 1\left( 1 \right)$

+) TH1: $n=0$

$(1)$ trở thành: $3^m-1=1$$ \Leftrightarrow {3^m} = 2 \Leftrightarrow \not \exists m \in N*$

Vậy $n=0$ loại.

+)TH2:$n=1$

$(1)$ trở thành: $3^m-1=1$$ \Leftrightarrow {3^m} = 2 \Leftrightarrow \not \exists m \in N*$

Vậy $n=1$ loại.

+)TH3:$n=2$

$(1)$ trở thành: $3^m-2=1$$ \Leftrightarrow m = 1$

Vậy ta có cặp $\left( {m;n} \right) = \left( {1;2} \right)$ thỏa mãn.

+)TH4:$n\ge 3$

Ta có:

$n \ge 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n! \vdots 3\\
n! \ge 6
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n! \vdots 3\\
{3^m} \ge 7\left( {Do:\left( 1 \right)} \right) \Rightarrow {3^m} \vdots 3
\end{array} \right.$

Mà lại có:

$\begin{array}{l}
V{T_{\left( 1 \right)}} = \left( {{3^m} - n!} \right) \vdots 3\\
V{P_{\left( 1 \right)}} = 1\not  \vdots 3
\end{array}$

$\to $ Mâu thuẫn.

$ \to \not \exists m,n \in N*$ thỏa mãn.

Vậy $\left( {m;n} \right) = \left( {1;2} \right)$ thỏa mãn.