Đáp án:

\[1 \le x \le 10\]

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ:  \(x \ge 1\)

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {x + 3 + 4\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x + 8 - 6\sqrt {x - 1} }  = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 1} \right) + 4.\sqrt {x - 1}  + 4}  + \sqrt {\left( {x - 1} \right) - 6\sqrt {x - 1}  + 9}  = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\sqrt {x - 1} }^2} + 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}}  + \sqrt {{{\sqrt {x - 1} }^2} - 2.\sqrt {x - 1} .3 + {3^2}}  = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 3} \right)}^2}}  = 5\\
 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  - 3} \right| = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 1}  - 3} \right| = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + \left| {\sqrt {x - 1}  - 3} \right| = 3\\
TH1:\,\,\,\,\sqrt {x - 1}  \le 3 \Leftrightarrow 1 \le x \le 10 \Rightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  - 3} \right| = 3 - \sqrt {x - 1} \\
 \Rightarrow \sqrt {x - 1}  + 3 - \sqrt {x - 1}  = 3\\
 \Leftrightarrow 3 = 3,\,\,\,\,\left( {\forall 1 \le x \le 10} \right)\\
TH2:\,\,\,\sqrt {x - 1}  > 3 \Leftrightarrow x > 10 \Rightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  - 3} \right| = \sqrt {x - 1} \\
 \Rightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 1}  - 3 = 3\\
 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 3\\
 \Leftrightarrow x = 10\,\,\,\,\,\left( {L,x > 10} \right)\\
 \Rightarrow 1 \le x \le 10
\end{array}\)

Vậy \(1 \le x \le 10\)