Đáp án:

c)  Không tồn tại $m$ thỏa mãn

 

Giải thích các bước giải:

$\left( d \right):y=2\left( m-1 \right)x-m+2$

$\left( P \right):y={{x}^{2}}$

Phương trình hoành độ giao điểm $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$

${{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x-m+2$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2=0\,\,\,\left( * \right)$

1)

Để $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$  cắt nhau tại hai điểm nằm ở 2 phía trục tung

Thì $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow a.c<0$

$\Leftrightarrow 1.\left( m-2 \right)<0$

$\Leftrightarrow m<2$

 

2)

$\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)$

$\Delta '={{m}^{2}}-2m+1-m+2$

$\Delta '=\left( {{m}^{2}}-3m+\dfrac{9}{4} \right)+\dfrac{3}{4}$

$\Delta '={{\left( m-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}>0$ với mọi $m$

Nên $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt

 

3)

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-2\end{cases}$

${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là $\sqrt{2}$

$\to x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2$ và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>0$

$\to {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2$  và  $2\left( m-1 \right)>0$ và $m-2>0$

$\to {{\left[ 2\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-2\left( m-2 \right)-2=0$ và $m>1$ và $m>2$

$\to 4{{m}^{2}}-10m+6=0$ và $m>1$ và $m>2$

$\to m=1$ và $m=\dfrac{3}{2}$ và $m>1$ và $m>2$

$\to $Không tồn tại $m$ thỏa mãn