a) Ta có:

$AC,AH$ là tiếp tuyến của $(M)$ tại $C,H$

$\Rightarrow AC = AH$

mà $MC = MH = R'$

nên $MA$ là trung trực của $HC$

$\Rightarrow MA$ là phân giác của $\widehat{HMC}$

$\Rightarrow \widehat{HMC}=2\widehat{HMA}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{HMD}=2\widehat{HMB}$

$\Rightarrow \widehat{HMC}+\widehat{HMD}=2(\widehat{HMA}+\widehat{HMB}) = 2\widehat{AMB}$

mà $\widehat{AMB}=90^o$ (nhìn đường kính $AB)$

nên $\widehat{HMC}+\widehat{HMD}=2.90^o = 180^o$

$\Rightarrow C,M,D$ thẳng hàng

$\Rightarrow CD$ là đường kính của $(M)$

b) Như đã chứng minh ở câu a, ta có:

$AC = AH$

$BD = BH$

$\Rightarrow AC + BD = AH + BH = AB$

Ta có:

$AC.BD = AH.BH = MH^2$ (hệ thức lượng)

mà $MH = R' = \dfrac{CD}{2}$

nên $AC.BD = \left(\dfrac{CD}{2}\right)^2 = \dfrac{CD^2}{4}$

c) Xét tứ giác $ABDC$ có:

$AC//BD \quad (\perp CD)$

$\widehat{C}=\widehat{D}=90^o$

Do đó: $ABDC$ là hình thang vuông tại $C,D$

Ta lại có:

$MC = MD = R'$

$OA = OB = R$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow OM//AC//BD$

$\Rightarrow OM\perp CD$

$\Rightarrow OM\perp MK$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆OMK$ vuông tại $K$ đường cao $MH$ ta được:

$OH.OK=OM^2 = R^2$

$\Rightarrow OA^2 = OB^2 = OH.OK = R^2$