$S = 1 + 3 + 3^2 +\dots + 3^{30}$

$\to 3S = 3 + 3^2 + 3^3 +\dots + 3^{31}$

$\to 3S - S = (3 + 3^2 + 3^3 +\dots + 3^{31}) - (1 + 3 + 3^2 +\dots + 3^{30})$

$\to 2S = 3^{31} - 1$

$\to S =\dfrac{3^{31}-1}{2}$

Ta có:

$3^{31} = 3^{28}.3^3 = 3^{4.7}.3^3$

$= (\dots \dots 1).27 = (\dots \dots 7)$

$\Rightarrow 3^{31} -1 = (\dots \dots 6)$

$\Rightarrow \dfrac{3^{31}-1}{2} = (\dots \dots 3)$

$\Rightarrow S$ không phải là số chính phương

Do số chính phương chỉ có số tận cùng là $0;1;4;5;6;9$

`S = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^30`

`S = (1 + 3^1 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7) + ... + (3^28 + 3^29 + 3^30)`

`S = 40 + 3^4 . (1 + 3^1 + 3^2 + 3^3) + ... + (3^28 + 3^29 + 3^30)`

`S = 40 + 3^4 . 40 + ... + 3^28 + 3^29 + 3^30`

`S = 40 . (3^4 + 1 + ... 3^24) + 3^28 + 3^29 + 3^30`

`=> 40 . (3^4 + 1 + ... 3^24) = ...0`

`=> 3^28 = 81^7 = ...1`

`=> 3^29 = ...1 . 3 = ...3`

`=> 3^30 = ... 1 . 3^2 = ...9`

`=> S = ...0 + ... 1 + ...3 + ...9 = ...3`

Vì không có số chính phương nào có tận cùng là `3` nên S không phải là số chính phương