Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A\to BC^2=AB^2+AC^2$

$\to AC^2=BC^2-AB^2=256$

$\to AC=16$

Mà $AH\perp BC\to S_{ABC}=\dfrac12AH.BC=\dfrac12AB.AC$

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{48}{5}$

Ta có: $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$

$\to \hat B=\arcsin\dfrac45\approx 53^o$ 

b.Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H,HE\perp AB$

$\to AE.AB=AH^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $AH^2=AC^2-HC^2$

$\to AE.AB=AC^2-HC^2$

c.Ta có: $HE\perp AB,HF\perp AC, AB\perp AC$

$\to AEHF$ là hình chữ nhật

$\to AF=HE, AE=HF$

Mà $\widehat{AHF}=\widehat{AHC}-\widehat{FHC}=90^o-\widehat{FHC}=\widehat{FCH}=\widehat{C}$

$\to \tan\widehat{AHF}=\dfrac{AF}{HF}$

$\to \tan\hat C=\dfrac{AF}{AE}$

$\to AF=AE\tan\hat C$

d.Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H,HE\perp AB$

$\to BH^2=BE.BA$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự $CH^2=CF.CA$

$\to \dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE.BA}{CF.CA}$

$\to\dfrac{BH^2.BC^2}{CH^2.BC}=\dfrac{BE.BA}{CF.CA}$

$\to\dfrac{(BH.BC)^2}{(CH.CB)^2}=\dfrac{BE.BA}{CF.CA}$

$\to\dfrac{(BA^2)^2}{(CA^2)^2}=\dfrac{BE.BA}{CF.CA}$

$\to\dfrac{BA^4}{CA^4}=\dfrac{BE.BA}{CF.CA}$

$\to\dfrac{BA^3}{CA^3}=\dfrac{BE}{CF}$