a) Dễ thấy ΔAMB và ΔACB nội tiếp nửa đường tròn nên ΔAMB vuông tại M,ΔACB vuông tại C

⇒BM⊥AN; AC⊥BN

⇒Trong ΔABN có 2 đường cao BM và AC cắt nhau tại E

⇒ NE là đường cao còn lại hay NE⊥AB

b) ΔANB có BM là đường cao và cũng là trung tuyến nên ΔANB cân tại B và BM là phân giác góc B

⇒$\widehat{ABM}=\widehat{NBM}=\widehat{MAE}$ ( cùng chắn cung MC)

⇒$2\widehat{NBM}=\widehat{ABC}$

ΔEAF có AM là đường cao và cũng là trung tuyến nên AM cũng là phân giác

⇒$\widehat{FAE}=2\widehat{MAE}$

Ta có: $\widehat{FAE}+\widehat{CAB}=2\widehat{NBM}+\widehat{CAB}=\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90^o$

⇒FA⊥AB

⇒FA là tiếp tuyến (O)

c)  ΔANB cân tại B

⇒BA=BN ; BM là phân giác⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{NBM}$

Xét 2Δ ABF và NBF có:

BF chung

$\widehat{ABM}=\widehat{NBM}$

BA=BN

Suy ra: ΔABF=ΔNBF(c-g-c)

⇒$\widehat{FNB}=\widehat{FAB}=90^o$

⇒FN⊥BN

Mà BN=BA⇒FN ⊥ bán kính của đường tròn(B;BA)

⇒FN là tiếp tuyến (B:BA)

d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông FNB:

$BM.BF=BN^2$

Áp dụng Py-ta-go trong ΔNBF:

$BN^2=BF^2-FN^2$

Suy ra: $BM.BF=BF^2-FN^2$