Đáp án:

a)  $\left[\begin{array}{l}m=2\\m=-1\end{array}\right.$

b)  $\left[\begin{array}{l}m=0\\m=3\end{array}\right.$

 

Giải thích các bước giải:

a)

${{x}^{2}}-5x-{{m}^{2}}+m+6=0$

Để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

Thì $\Delta \ge 0$

$\Leftrightarrow {{\left( -5 \right)}^{2}}-4\left( -{{m}^{2}}+m+6 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1\ge 0$

$\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}\ge 0$  (luôn đúng $\forall m\in \mathbb{R}$)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=-m^2+m+6\end{cases}$

Với $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=3\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện:

$\,\,\,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge 0$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 0$

$\Leftrightarrow 5>0$ (đúng) và $-{{m}^{2}}+m+6>0$

$\Leftrightarrow -2\le m\le 3$

 

$\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=9$

$\Leftrightarrow 5+2\sqrt{-{{m}^{2}}+m+6}=9$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{-{{m}^{2}}+m+6}=4$

$\Leftrightarrow \sqrt{-{{m}^{2}}+m+6}=2$

$\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+m+6=4$

$\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+m+2=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\\m=-1\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $\left[\begin{array}{l}m=2\\m=-1\end{array}\right.$ thì $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}=3$

 

 

b)

${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3=0$

$\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( m-3 \right)$

$\Delta '={{m}^{2}}-3m+4$

Để phương trình có nghiệm

Thì $\Delta '\ge 0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+4\ge 0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm

$\left[\begin{array}{l}{{x}_{1}}=m-1+\sqrt{{{m}^{2}}-3m+4}\\{{x}_{2}}=m-1-\sqrt{{{m}^{2}}-3m+4}\end{array}\right.$

Để ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ đều là những số nguyên

Thì ${{m}^{2}}-3m+4$ phải là số chính phương

Đặt ${{m}^{2}}-3m+4={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m+16=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-12m+9 \right)+7=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{A}^{2}}-{{\left( 2m-3 \right)}^{2}}=7$

$\Leftrightarrow \left( 2A+2m-3 \right)\left( 2A-2m+3 \right)=7$

Tới đây lập phương trình ước số

Giải ra được $\left[\begin{array}{l}m=0\\m=3\end{array}\right.$