a) Xét $\Delta$ vuông $PAO$ và $\Delta$ vuông $PNO$ ta có:

$PO$ chung

$OA=ON=R$

$⇒ ΔPAO=ΔPNO$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$⇒ \left \{ {{PA=PO} \atop {\widehat{APO}=\widehat{NPO}}} \right.$ 

$⇒\left \{ {{ΔAPN \text{ cân tại } P} \atop {PO \text{ là phân giác }}} \right.$ 

⇒ PO là trung trực của AN

 

b) Dễ thấy AMO là tam giác đều $⇒\widehat{AMO} = 60^o$ 

$ΔPAO=ΔNPO ⇒\widehat{AOM}=\widehat{NOM}=60^o$

$⇒\widehat{AMO}=\widehat{NOM}=60^o⇒AM//ON$ (2 góc so le trong bằng nhau)

$AP = AO.\tan60^o=R\sqrt3$ 

 

c) ΔAPN cân tại P

$\widehat{APO}=\widehat{NPO}=30^o ⇒\widehat{APN}=60^o$

⇒ ΔAPN đều

Ta  có $\widehat{NOQ}=60^o ⇒ OQ=\dfrac{ON}{\cos60^o}=2ON=2R $

$⇒AQ=3R$

Vậy $S_{\Delta APQ}= \dfrac{AP.AQ}{2}=\dfrac{R^2 3\sqrt3}{2}$ 

 

d) Ta có M là giao của các đường cao của tam giác đều APN

$⇒ M$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔAPN$

$⇒AP,AN$ là 2 tiếp tuyến của $(M;MH)$.