Đáp án:

`↓↓`

Giải thích các bước giải:

Ta có:

`A=10^2012+10^2011+10^2010+10^2009+8`

`A=\underbrace{100...0}_{2012\text( chữ số )0}+\underbrace{100...0}_{2011\text( chữ số )0}+\underbrace{100...0}_{2010\text( chữ số )0}+\underbrace{100...0}_{2009\text( chữ số )0}+8`

`A=\underbrace{1111000...000}_{2009\text( chữ số )0}+8`

`A=\underbrace{1111000...008}_{2008\text( chữ số )0}`

Tổng các chữ số của `A` là:

`1+1+1+1+8=9`

`A\vdots3(1)`

Ba chữ số cuối của `A` là: `overline(008)\vdots8` nên

`A\vdots8(2)`

Vì `\text{ƯCLN(3;8)=1` và `3.8=24` nên từ `(1)` và `(2)`

`⇒` đpcm .

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
A = {10^{2012}} + {10^{2011}} + {10^{2010}} + {10^{2009}} + 8\\
 = {10^{2009}}\left( {{{10}^3} + {{10}^2} + 10 + 1} \right) + 8\\
 = {10^{2009}}.1111 + 8
\end{array}$

+) Lại có:

$\begin{array}{l}
{10^{2009}} = {\left( {2.5} \right)^{2009}} = {2^{2009}}{.5^{2009}} \vdots {2^3}\\
 \Rightarrow {10^{2009}} \vdots 8\\
 \Rightarrow \left( {{{10}^{2009}}.1111 + 8} \right) \vdots 8\\
 \Rightarrow A \vdots 8 (1)
\end{array}$

+) Mặt khác:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
10 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {10^{2009}} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\
1111 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {10^{2009}}.1111 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\
 \Rightarrow {10^{2009}}.1111 + 8 \equiv 1 + 8\left( {\bmod 3} \right)\\
 \Rightarrow {10^{2009}}.1111 + 8 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\\
 \Rightarrow \left( {{{10}^{2009}}.1111 + 8} \right) \vdots 3\\
 \Rightarrow A \vdots 3\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow A \vdots 24\left( {Do:\left( {8,3} \right) = 1} \right)$

Ta có điều phải chứng minh.