Giải thích các bước giải:

a, AP và NP là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại P, áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: PA = PN

mà OA = ON = R

⇒ OP là đường trung trực của AN (đpcm)

b, OP là đường trung trực của AN ⇒ MN = AM = R 

Tứ giác AMNO có MN = AO = AM = ON = R

⇒ AMNO là hình bình hành (các cặp cạnh đối bằng nhau)

⇒ AM ║ ON (đpcm)

AMNO là hình bình hành mà AN ⊥ OM (AN ⊥ OP)

⇒ AMNO là hình thoi

⇒ AN là phân giác của $\widehat{MAO}$

ΔMAO có AM = OM = OA = R nên là tam giác đều

⇒ $\widehat{MAO}$ = $60^o$

⇒ $\widehat{MAN}$ = $30^o$ và $\widehat{MAP}$ = $30^o$

⇒ $\widehat{NAP}$ = $60^o$b mà PA = PN

⇒ ΔAPN đều 

⇒ AP = AN = 2.$\sqrt[]{R^2-(\frac{R}{2})^2}$ = R$\sqrt[]{3}$ 

c, ΔAPN đều đã chứng minh ở câu b.

Dễ dàng chứng minh được ΔONP = ΔONQ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒ PN = QN ⇒ PQ = 2.PN = 2.AP = 2R$\sqrt[]{3}$ 

ΔAPN đều có AH là đường cao

⇒ AH = $\sqrt[]{(\sqrt[]{3})^2-(\frac{R\sqrt[]{3}}{2})^2}$ = $\frac{3}{2}$R

ΔAPQ vuông tại A, AH là đường cao

⇒ $S_{APQ}$ = $\frac{1}{2}$.AH.PQ = $\frac{1}{2}$.$\frac{3}{2}$R.2R$\sqrt[]{3}$ = $\frac{3\sqrt[]{3}}{2}$$R^2$

d, ΔAPN có AH, PM là 2 đường cao cắt nhau tại M

⇒ M là trực tâm ΔAPN

Mà ΔAPN đều ⇒ M cũng là tâm đường tròn nội tiếp ΔAPN

⇒ AP và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (M;MH) (đpcm)