1

a)   Xét ΔABDΔABD ,có :

{AM=MBAQ=QD{AM=MBAQ=QD => MQ là đường trung bình của ΔABDΔABD

⇒MQ⇒MQ // =12BD=12BD (1)

Xét ΔCBDΔCBD ,có :

{BN=NCCP=PD{BN=NCCP=PD => NP là đường trung bình của ΔCBDΔCBD

⇒NP⇒NP// =12BD=12BD (2)

Từ (1)(2) => NP // = MQ

=> Tứ giác MNPQ là HBH

b)   

 Xét ΔADB có

Q là trung điểm của AD(gt)

M là trung điểm của AB(gt)

Do đó: QM là đường trung bình của ΔADB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒QM//DB và QM=DB2QM=DB2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔCDB có

P là trung điểm của CD(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của ΔCDB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒PN//DB và PN=DB2PN=DB2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra QM//PN và QM=PN

Xét tứ giác MNPQ có QM//PN(cmt) và QM=PN(cmt)

nên MNPQ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật khi PQMˆ=900PQM^=900

hay QM⊥QP

Xét ΔDAC có

Q là trung điểm của AD(gt)

P là trung điểm của CD(gt)

Do đó: QP là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒QP//AC và QP=AC2QP=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: QP⊥QM(cmt)

QP//AC(cmt)

Do đó: QM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: QM⊥AC(cmt)

QM//DB(cmt)

Do đó: AC⊥DB(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC⊥DB thì hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật

Thi Tốt nếu chưa thi nhé !!