a) Ta có:

$ABCD$ là hình bình hành $(gt)$

$AC\cap BD = \left\{O\right\}$

$\Rightarrow OA = OC = \dfrac{1}{2}AC; \, OB = OD = \dfrac{1}{2}BD$ (định lý 3)

Ta lại có:

$OM = MD = \dfrac{1}{2}OD\quad (gt)$

$ON = NB = \dfrac{1}{2}OB \quad (gt)$

Do đó $OM = ON = MD = NB$

Xét tứ giác $AMCN$ có:

$AC\cap MN = \left\{O\right\}$

$OM = ON \quad (cmt)$

$OA = OC$ (định lý 3)

Do đó $AMCN$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ năm)

b) Ta có: $AMCN$ là hình bình hành (câu a)

$\Rightarrow AM//CN$

$\Rightarrow AE//CF$

Xét tứ giác $AECF$ có:

$AE//CF \quad (cmt)$

$AF//CE \quad (AB//CD)$

Do đó $AECF$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ nhất)

$\Rightarrow AC, EF$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (định lý 3)

Ta lại có: $O$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $EF$

hay $E,F$ đối xứng nhau qua $O$

c) Ta có: $AE//CF$

$\Rightarrow ME//CN$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{DE}{DC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{DE}{DC}$

$\Leftrightarrow DC = 2DE$