Bài 14:

a,  Giả sử ƯC(n + 1, 2n + 3) = d  (d ∈ N*)

⇒ n + 1 ⋮ d và 2n + 3 ⋮d

⇒ 2(n + 1) ⋮ d và 2n + 3 ⋮ d

⇒ 2n + 2 ⋮ d và 2n + 3 ⋮ d

⇒ 2n + 3 - 2n - 2 ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(1)

⇒ d = 1

⇒ phân số $\frac{n + 1}{2n + 3}$ là phân số tối giản

b, Giả sử ƯC(2n + 3, 4n + 8) = d      (d ∈ N*)

⇒ 2n + 3 ⋮ d và 4n + 8 ⋮ d

⇒ 2(2n + 3) ⋮ d và 4n + 8 ⋮ d

⇒ 4n + 6 ⋮ d và 4n + 8 ⋮ d

⇒ 4n + 8 - 4n - 6 ⋮ d

⇒ 2 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(2)

⇒ d ∈ {1;2}

+) với d = 2

Vì 2n ⋮ 2

    3 không chia hết cho 2

⇒ 2n + 3 không chia hết cho 2

⇒ d $\neq$ 2

⇒ d = 1

⇒ phân số $\frac{2n + 3}{4n + 8}$ là phân số tối giản

c, Giả sử ƯC(3n + 1, 4n + 1) = d        (d ∈ N*)

⇒ 3n + 1 ⋮ d và 4n + 1 ⋮d

⇒ 4(3n + 1) ⋮ d và 3(4n + 1) ⋮ d

⇒ 12n + 4 ⋮ d và 12n + 3 ⋮ d

⇒ 12n + 4 - 12n - 3 ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(1)

⇒ d = 1

⇒ phân số $\frac{3n + 1}{4n + 1}$ là phân số tối giản

Bài 15:

   A  rút gọn được khi ƯC(2n + 3, 6n + 4) > 1

Đặt ƯC(2n + 3, 6n + 4) = d

⇒ 2n + 3 ⋮ d và 6n + 4 ⋮ d

⇒ 3(2n + 3) ⋮ d và 6n + 4 ⋮ d

⇒ 6n + 9 ⋮ d và 6n + 4 ⋮ d

⇒ 6n + 9 - 6n - 4 ⋮ d

⇒ 5 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(1,5)

Để ƯC(2n + 3, 6n + 4) > 1 thì d = 5

+) Với d = 5

⇒ 2n + 3 ⋮ 5

⇒ 3(2n + 3) ⋮ 5

⇒ 6n + 9 ⋮ 5

⇒ 5n + 5 + n + 4 ⋮ 5

Mà 5n + 5 ⋮ 5

⇒ n + 4 ⋮ 5

⇒ n = 5k + 1 (k ∈ N)

Vậy n = 5k + 1 thì phân số A = $\frac{2n + 3}{6n + 4}$ rút gọn được

Bài 16:

a, Để phân số $\frac{12}{3n - 1}$ có giá trị nguyên thì

12 ⋮ 3n - 1

⇒ 3n - 1 ∈ Ư(12)

⇒ 3n - 1 ∈ {±1;±2;±3;±4;±6;±12}

⇒ 3n ∈ {-11;-5;-3;-2;-1;0;2;3;4;5;7;13}

⇒ n ∈ {-1;0;1}    (do n ∈ Z)

Vậy n ∈ {-1;0;1} thì phân số $\frac{12}{3n - 1}$ có giá trị nguyên

b, Để phân số $\frac{2n + 3}{7}$ có giá trị nguyên thì

2n + 3 ⋮ 7

⇒ 2n + 3= 14k + 7  (k∈N)

⇒ 2n= 14k + 4

⇒ n= 7k + 2

Vậy n có dạng 7k+2 thì phân số $\frac{2n + 3}{7}$ có giá trị nguyên

c, Để phân số $\frac{2n + 5}{n - 3}$ có giá trị nguyên thì

2n + 5 ⋮ n - 3

⇒ 2(n - 3) + 11 ⋮ n - 3

⇒ 11 ⋮ n - 3

⇒ n - 3 ∈ Ư(11)

⇒ n - 3 ∈ {±1;±11}

⇒ n ∈ {-8;2;4;14}

Vậy n ∈ {-8;2;4;14} thì phân số $\frac{2n + 5}{n - 3}$ có giá trị nguyên