Giải thích các bước giải:

Ta có:

$p^5-p=p(p^4-1)=p(p^2+1)(p^2-1)=p(p^2+1)(p-1)(p+1)$

$\to p^5-p=p(p^2-4+5)(p-1)(p+1)$

$\to p^5-p=p(p^2-4)(p-1)(p+1)+5p(p-1)(p+1)$

$\to p^5-p=p(p^2-2^2)(p-1)(p+1)+5p(p-1)(p+1)$

$\to p^5-p=p(p-2)(p+2)(p-1)(p+1)+5p(p-1)(p+1)$

Vì $p$ là số nguyên tố $p>3\to p$ lẻ

$\to p-1,p+1$ là hai số chẵn liên tiếp

$\to (p-1)(p+1)\quad\vdots\quad 8$

Mà $p-1,p,p+1$ là ba số nguyên liên tiếp

$\to (p-1)p(p+1)\quad\vdots\quad 5$

$\to 5p(p-1)(p+1)\quad\vdots\quad 5\cdot 3\cdot 8$ vì $(5,3,8)=1$

$\to 5p(p-1)(p+1)\quad\vdots\quad 120(1)$

Lại có:

$p-2,p-1,p,p+1,p+2$ là $5$ số nguyên liên tiếp

$\to (p-2)(p-1)p(p+1)(p+2)\quad\vdots\quad 5$

$p-2,p-1,p$ là $5$ số nguyên liên tiếp

$\to (p-2)(p-1)p\quad\vdots\quad 3$

Lập luận tương tự phần trên ta có: $(p-1)(p+1)\quad\vdots\quad 8$

$\to (p-2)(p-1)p(p+1)(p+2)\quad\vdots\quad 5\cdot 3\cdot 8$

$\to (p-2)(p-1)p(p+1)(p+2)\quad\vdots\quad 120(2)$

$\to $Từ $(1),(2)$

$\to p(p-2)(p+2)(p-1)(p+1)+5p(p-1)(p+1)\quad\vdots\quad 120$

$\to p^5-1\quad\vdots\quad 120$

A = p² - 1 = (p - 1)(p + 1)

p là số nguyên tố > 3 => p lẻ => p-1; p+1 chẵn => A chia hết cho 8 với mọi p là số nguyên tố > 3 (1)

p là số nguyên tố > 3 => p = 3k+1; 3k + 2

+) p= 3k+1 => A = 3k(3k+2) chia hết cho 3

+) p = 3k+2 => A = (3k+1)(3k+3) = 3(k+1)(3k+1) chia hết cho 3

=> A chia hết cho 3 với mọi p là số nguyên tố > 3 (2)

8 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau (3)

Từ (1); (2); (3) => A chia hết cho 24 với mọi p là số nguyên tố lớn hơn 3 (đpcm)