a) Xét $ΔBMC$ có:

$CI\perp BM\quad (gt)$

$BK\perp MC\quad (BK\perp AC: \,\,gt)$

$BK\cap CI = \left\{E\right\}$

$\Rightarrow E$ là trực tâm $ΔBMC$

$\Rightarrow ME\perp BC$

mà $AB\perp BC;\, NC\perp BC \quad (CD\perp BC)$

nên $ME//AB//NC \quad (\perp BC)$

Xét $ΔAKB$ có:

$AM = MK = \dfrac{1}{2}AK \quad (gt)$

$ME//AB \quad (cmt)$

$\Rightarrow BE = EK = \dfrac{1}{2}KB$

hay $E$ là trung điểm $KB$

b) Xét $ΔABK$ có:

$AM = MK = \dfrac{1}{2}AK \quad (gt)$

$BE = EK = \dfrac{1}{2}KB \quad (cmt)$

$\Rightarrow ME$ là đường trung bình

$\Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}AB$

Ta lại có:

$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD \quad (gt)$

$AB = CD \quad (ABCD$ là hình chữ nhật$)$

nên $ME = CN$

mà $ME// CN \quad$ (câu a)

Do đó $MNCE$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

c) Ta có:

$MNCE$ là hình bình hành (câu b)

$\Rightarrow \widehat{NME} = \widehat{NCE}$

mà $\widehat{NCE} = \widehat{MEI}$ (đồng vị)

nên $\widehat{NME} = \widehat{MEI}$

Ta lại có:

$\widehat{MEI} + \widehat{EMI} = 90^o\quad (CI\perp BM)$

$\Rightarrow \widehat{NME} + \widehat{EMI} = 90^o = \widehat{NMI} = \widehat{NMB}$

Do đó $BM\perp MN$

d) Ta có:

$S_{ABC} = S_{ADC} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$

$\Rightarrow S_{ABCD} = 2S_{ABC} = AC.BK = 10\cdot 4 = 40\, cm^2$