Bạn xem hình

$A(-4;2);\, B(2;6);\, C(0;-2)$

Với $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm $ΔABC$ ta có:

$\begin{cases}x_G = \dfrac{x_A + x_B +x_C}{3}\\y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_G = \dfrac{-4 + 2 + 0}{3} = -\dfrac{2}{3}\\y_G = \dfrac{2 + 6 - 2}{3} = 2\end{cases}$

$\Rightarrow G\left(-\dfrac23;2\right)$

Gọi $H(x_H;y_H)$ là trực tâm của $ΔABC$ ta có:

$\overrightarrow{AH} = (x_H + 4;y_H  - 2)$

$\overrightarrow{BH} = (x_H -2; y_H  - 6)$

$\overrightarrow{BC} = (-2;-8)$

$\overrightarrow{AC} = (4;-4)$

Ta được:

$\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-2(x_H + 4) - 8(y_H - 2) = 0\\4(x_H - 2) - 4(y_H - 6) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_H + 4y_H = 4\\x_H - y_H = -4\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_H = -\dfrac{12}{5}\\y_H = \dfrac{8}{5}\end{cases}$

$\Rightarrow H\left(-\dfrac{12}{5};\dfrac{8}{5}\right)$

Gọi $I(x_I;y_I)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$ ta có:

$ IA = IB = IC$

$\Leftrightarrow IA^2 = IB^2 = IC^2$

$\Leftrightarrow \begin{cases}IA^2 = IB^2\\IA^2 = IC^2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(x_I + 4)^2 + (y_I - 2)^2 = (x_I-2)^2 + (y_I- 6)^2\\(x_I + 4)^2 + (y_I - 2)^2 = x_I^2 + (y_I  +2)^2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x_I + 2y_I = 5\\x_I - y_I = -2\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_I = \dfrac{1}{5}\\y_I =  \dfrac{11}{5}\end{cases}$

$\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{11}{5}\right)$

Ta được:

$\overrightarrow{GH} = \left(-\dfrac{26}{15};-\dfrac{2}{5}\right)$

$\overrightarrow{GI} = \left(\dfrac{13}{15}; \dfrac{1}{5}\right)$

Do $\overrightarrow{GH} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{GI}$

nên $G,H,I$ thẳng hàng