Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MN\perp AB, MP\perp AC, AB\perp AC$

$\to MNAP$ là hình chữ nhật

Vì $MP\perp AC\to MP//AB\to MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to P$ là trung điểm $AC$

Tương tự $N$ là trung điểm $AB$ 

$\to NP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to NP//BC, NP=\dfrac12BC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to NP=BM, NP//BN$

$\to BMPN$ là hình bình hành

b.Từ câu a $\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to AC=2MN$

c.Ta có $NP//BC\to NP//HM\to NPMH$ là hình thang

Mà $AH\perp BC\to \Delta AHB$ vuông tại $H$

Do $N$ là trung điểm $AB$

$\to \widehat{NHB}=\widehat{NBH}=\hat B=\widehat{PMC}$ vì $PM//AB$

$\to \widehat{NHM}=180^o-\widehat{NHB}=180^o-\widehat{PMC}=\widehat{PMH}$

$\to NPMH$ là hình thang cân

d.Gọi $BK\cap NH=D$

Ta có: $KM//AH\to KM\perp BC$

Mà $M$ là trung điểm $BC\to KM$ là trung trực của $BC$

$\to KB=KC$

$\to \Delta KBC$ cân tại $K$

$\to\widehat{KCB}=\widehat{KBC}$

$\to\widehat{KBC}=\hat C$

$\to\widehat{NBD}=\widehat{ABC}-\widehat{KBC}=\hat B-\hat C$

$\to\widehat{NBD}+\widehat{DNB}=\hat B-\hat C+\widehat{DNB}$

$\to\widehat{NBD}+\widehat{DNB}=\hat B-\hat C+\widehat{HNB}$

$\to\widehat{NBD}+\widehat{DNB}=\hat B-\hat C+(180^o-2\widehat{NBH})$ vì $\Delta HNB$ cân tại $N$

$\to\widehat{NBD}+\widehat{DNB}=\hat B-\hat C+(180^o-2\hat B)$

$\to\widehat{NBD}+\widehat{DNB}=180^o-(\hat B+\hat C)$

$\to\widehat{NBD}+\widehat{DNB}=90^o$

$\to\Delta NDB$ vuông tại $D$

$\to BK\perp NH$