Đáp án:

Giải thích các bước giải: Những bài toán tìm Min, Max không có điều kiện ràng buộc cho các biến. Trong loại này thông thường có các kiểu bài toán sau đây:

*1 Biểu thức cần tìm cực trị là một biểu thức nguyên

Cách giải thường dùng là viết biểu thức dưới dạng tổng các bình phương với một hằng: f(x) =

VD1 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x2 – x + 1

HD giải: f(x) = x2 – x + 1 = (x –

(do (x – ) Vậy GTNN của f(x) là khi x =

VD2 Tìm GTLN của f(x) = – x2 + 6x + 1

HD giải:

f(x) = – x2 + 6x + 1 = – (x – 3)2 + 10

(do – (x – 3)2 )

Vậy GTLN của f(x) là 10 khi x = 3

VD3 Tìm GTNN của f(x; y) = 2x2 – 2xy + 5y2 + 2x + 2y

HD giải:

f(x; y)=

Do (2x – y + 1)2 ; (3y + 1)2 nên GTNN của f(x; y) bằng –1 khi

VD4 Tìm giá trị lớn nhất của

f(x; y) = – x2 – y2 + xy + 2x + 2y

HD giải:

– 2f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 2xy – 4x – 4y

= (x – y)2 + (x – 2)2 + (y – 2)2 – 8

f(x; y)=

Vậy f(x; y) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = y = 2

Bài tập áp dụng

1-1 Tìm GTNN của f(x) = x5 – x2 – 3x + 5 với x

1-2 Tìm GTNN của

f(x; y; z) = x4 + y4 + z4 – 1 – 2x2y2 + 2x2 – 2xz

1-3 Tìm GTNN của : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

1-4 Tìm GTNN của : f(x) = x100 – 10x10 + 10

1-5 Tìm GTNN của : f(x; y) = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28

1-6 Tìm GTLN của f(x) = 2 + x – x2

*2. Biểu thức cần tìm cực trị có chứa dấu giá trị tuyệt đối

VD Tìm GTNN của f(x) =

HD giải:

Cách 1: Ta có /x – 3/ =

/x – 5/ =

• Nếu x 2

• Nếu 3 thì f(x) = 2

• Nếu x > 5 thì f(x) = 2x – 8 > 2

Giá trị nhỏ nhất của f(x) = 2 khi

Cách 2:

f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/

Vậy GTNN của f(x) là 2 (x – 3)(5 – x)

Bài tập áp dụng

2-1 Với mọi giá trị nguyên của x, tìm GTNN của

f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/

2-2 Tìm GTNN của

f(x) = /x2 – 1/ + /x2 – 4/ + /x + 1/ + /x + 2/

2-3 Tìm GTNN của : f(x) =

2-4 Tìm GTNN của : f(x) =

2-5 Tìm GTLN, GTNN của : f(x) =

*3. Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN là một biểu thức hữu tỉ chứa một biến.

VD1: Tìm GTLN, GTNN của : y =

HD giải:

Cách 1:

y =

GTLN của y là 2 khi x = 1

y =

=

Vậy GTNN của y là khi x = – 1

Cách 2:

Do x2 – x + 1 > 0 với mọi x nên ta có thể viết:

y(x2 – x + 1) = x2 + 1

(y – 1)x2 – yx + y – 1 = 0 (*)

Nếu y = 1 thì x = 0

Nếu y thì phương trình (*) phải có nghiệm

Vậy GTNN của y là khi x = – 1

GTLN của y là 2 khi x = 1

VD2 Tìm GTLN, GTNN của

y = với x

HD giải: y =

GTLN của y là 1 khi x = 0

Để tìm GTNN có hai cách sau:

Cách 1: Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai:

Biến đổi thành (y – 1)x4 + 2yx2 + y – 1 = 0

Khi y = 1 thì x = 0, nếu y 1 thì phương trình phải có nghiệm

y , GTNN của y là khi x = 1

Đáp án:

Giải thích các bước giải:+) Sử dụng bất đẳng thức như : Cauchy ; Bunhiakovsky; Chebyshev; ...

+) Sử dụng 2 hằng đẳng thức là :

$A^{2}$ + 2AB + $B^{2}$ và $A^{2}$ - 2AB + $B^{2}$

* A = a + [f(x)]^2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0

* B = b - [f(x)]^2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0

+) Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | ñể tìm GTNN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0

+) Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | ñể tìm GTLN

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0

+) Áp dụng ñiều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = $\frac{-b}{2a}$