Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)m =  - 1\\
\left( {{d_1}} \right):y = 5.\left( { - 1} \right).x - 1 - 2 =  - 5x - 3\\
\left( {{d_2}} \right):y = \left( {3.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2} \right).x + {\left( { - 1} \right)^2} = 5x + 1
\end{array}$

Xét pt hoành độ giao điểm của chúng

$\begin{array}{l}
 - 5x - 3 = 5x + 1\\
 \Leftrightarrow 10x =  - 4\\
 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{5}\\
 \Leftrightarrow y = 5x + 1 = 5.\dfrac{{ - 2}}{5} + 1 =  - 1\\
 \Leftrightarrow A\left( { - \dfrac{2}{5}; - 1} \right)\\
b)\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5m = 3{m^2} + 2\\
m - 2 \ne {m^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{m^2} - 5m + 2 = 0\\
{m^2} - m + 2 \ne 0\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\left( {3m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m =  - \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.\\
Vay\,m = 2;m =  - \dfrac{1}{3}\\
c)\left( {{d_1}} \right):y = 5mx + m - 2
\end{array}$

Gọi điểm cố định là $M\left( {x;y} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow y = 5mx + m - 2\forall m\\
 \Leftrightarrow \left( {5x + 1} \right).m = y + 2\forall m\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x + 1 = 0\\
y + 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{1}{5}\\
y =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow M\left( { - \dfrac{1}{5}; - 2} \right)
\end{array}$

Vậy khi m thay đổi d1 luôn đi qua $M\left( { - \dfrac{1}{5}; - 2} \right)$