Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABE,\Delta ACF$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ACF(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AF\cdot AB=AE\cdot AC$

b.Từ câu a $\to \dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$ 

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

c.Từ câu b $\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2$

Ta có: $\Delta ABE$ vuông tại $E, \hat A=45^o\to\Delta ABE$ vuông cân tại $E\to AB=AE\sqrt2$

$\to (\dfrac{AE}{AB})^2=\dfrac12$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac12$

$\to S_{ABC}=2S_{AEF}$

d.Để $AH$ đi qua trung điểm $BC\to AH$ là trung tuyến $\Delta ABC$

Mà $AH\perp CB$

$\to \Delta ABC$ cân tại $A$

Khi đó $AB=AC$

Xét $\Delta ABE,\Delta ACF$ có:

Chung $\hat A$

$AB=AC$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$\to \Delta ABE=\Delta ACF$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AE=AF$

$\to HF^2=AH^2-AF^2=AH^2-AE^2=HE^2$

$\to HF=HE$

Do $AE=AF, HE=HF$

$\to A, H\in$ trung trực $EF$

$\to AH\perp EF$ tại trung điểm $EF$

$\to AH$ đi qua trung điểm $EF$

$\to AH$ đi qua trung điểm $EF, BC$ khi $\Delta ABC$ cân tại $A$