a. Xét tứ giác ABCD có: AM = $\frac{BC}{2}$ 

=> AM = BM = CM

Lại có: AM = DM

=> AM = BM = CM = DM 

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành (cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Ta lại có: A = 90 độ

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật) (đpcm)

b, Xét tam giác AID có:

H là trung điểm của AI

M là trung điểm của BC

=> HM là đường trung bình của tam giác AID

=> HM // DI 

Lại có:  BC ⊥ IH; 

            DI ⊥ IH

=> BC // DI (đpcm)

c, Từ BC// DI => Tứ giác BCDI là hình thang

Mà: AC là đường trung trực của đoạn thẳng AI => Tam giác ABI cân 

=> AB = BI mà AB = CD

=> BI = CD

=> Tứ giác BCDI là hình thang cân

d, Ta có: góc ACB = góc AEF = góc AHM; ABM = BAM

Mà: ACM + ABM = 90 độ => BAM + AEF = 90 độ hay: AM ⊥ EF