Đáp án:

a)  $m=\dfrac{3}{10}$

b)  Có thể

 

Giải thích các bước giải:

a)  $\begin{cases}3x^2-x-10\le 0\\mx+2m-1\le 0\end{cases}$

Với $3{{x}^{2}}-x-10\le 0\Leftrightarrow x\in \left[ -\dfrac{5}{3};2 \right]$

Để tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài là $3$

Thì $x\in \left[ -\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3} \right]$   hoặc là   $x\in \left[ -1;2 \right]$

 

Với $mx+2m-1\le 0\,\,\,\left( * \right)$

Nếu $m=0$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow -1\le 0$ (luôn đúng $\forall x\in \mathbb{R}$)

Khi đó phương trình có tập nghiệm $x\in \left[ -\dfrac{5}{3};2 \right]$

(không thỏa mãn độ dài trục số là $3$)

Loại $m=0$

 

Với $m>0$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow x\le \dfrac{1-2m}{m}$

Để độ dài trục số là $3$

Thì $\dfrac{1-2m}{m}=\dfrac{4}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left( 1-2m \right)=4m$

$\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{10}$ (thỏa mãn $m>0$)

 

Với $m<0$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1-2m}{m}$

Để độ dài trục số là $3$

Thì $\dfrac{1-2m}{m}=-1$

$\Leftrightarrow 1-2m=-m$

$\Leftrightarrow m=1$ (không thỏa mãn $m<0$)

 

Kết luận:

Vậy $m=\dfrac{3}{10}$ thì giá trị cần tìm

 

b) 

Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối khi hiệu số đo của chúng có dạng $k2\pi \,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

$\to $$\dfrac{35\pi }{3}-\dfrac{m\pi }{3}=k2\pi $

$\to \left( 35-m \right)\pi =k6\pi $

$\to 35-m=6k$

$\to m=6k+35$

Với $1$ giá trị nguyên $k$ bất kì, ta luôn tìm được giá trị nguyên $m$

Điều đó chứng tỏ hai góc lượng giác $\dfrac{35\pi }{3}$ và $\dfrac{m\pi }{3}$ có thể có cùng tia đầu và tia cuối