Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)$

Phương trình phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ: $y=x$

$\Rightarrow I(a,a)$

$A,B$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$

$\Rightarrow IA=IB\\ \Leftrightarrow IA^2=IB^2\\ \Leftrightarrow (a+1)^2+a^2=a^2+(a+2)^2\\ \Leftrightarrow a^2+4a+4=a^2+2a+1\\ \Leftrightarrow 2a=-3\\ \Leftrightarrow a=\dfrac{-3}{2}\\ \Rightarrow I \left(\dfrac{-3}{2};\dfrac{-3}{2} \right)\\ IA=\sqrt{\left(-1+\dfrac{3}{2} \right)^2+ \left(-\dfrac{3}{2} \right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

Phương trình đường tròn tâm $I$ bán kính $IA:$

$\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\\ 2)$

Phương trình phân giác thứ hai của hệ trục toạ độ:

$y=-x \Leftrightarrow x+y=0$, VTPT $\vec{n}=(1,1)$

Tiếp tuyến vuông góc với phân giác thứ hai 

$\Rightarrow$ Tiếp tuyến có VTCP $\vec{u}_{ (\Delta)}=(1,1)$

$\Rightarrow$ VTPT: $\vec{n}_ {(\Delta)}=(1;-1)$

$\Rightarrow (\Delta): x-y+b=0\\ d(I;d)=R\\ \Leftrightarrow \dfrac{\left|-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}+b\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}|b|}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\\ \Leftrightarrow |b|=\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow b=\pm \sqrt{5}\\ \Rightarrow (\Delta): x-y+\sqrt{5}=0; (\Delta): x-y-\sqrt{5}=0.$