`a,` Xét :

`TH1:` Nếu `p=3k⇒p=3`

`⇒2p^2+1=2.9+1`

`=19` `(TM)`

`TH1:` Nếu `p=3k+1`

`⇒2p^2+1=2(3k+1)^2+1`

`=2(9k^2+6k+1)+1`

`=18k^2+12k+3⋮3` `(KTM)`

`TH2:` Nếu `p=3k+2`

`⇒2p^2+1=2(3k+2)^2+1`

`=2(9k^2+12k+4)+1`

`=18k^2+12k+9⋮3` `(KTM)`

Vậy `p=3`

`b,` Xét :

`TH1:p=2`

`⇒6p^2+1=25` `(KTM)`

`TH2:p=3`

`⇒6p^2+1=55` `(KTM)`

`TH3:p=4`

`⇒4p^2+1=65` `(KTM)`

`TH4:p=5`

`⇒4p^2+1=101` `(TM)`

`⇒6p^2+1=151` `(TM)`

Tiếp theo bạn xét `2` `TH` là `5k±1` và `5k±2,` rồi làm tương tự như trên nhé

Vậy `p=5`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) Với p=2=> 2p^2+1=2.2^2+1=9 loại

    Với p=3=> 2p^2+1=19 Thỏa mãn

Với p>3 => p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

Với p=3k+1=> 2p^2+1=2(3k+1)^2+1=18k^2+12k+3 chia hết cho 3 (Loại)

  p=3k+2=> 2p^2+1=2(9k^2+12k+4)+1=18k^2+24k+9 chia hết cho 3 (Loại)

=> Vậy p=3 thì 2p^2+1 là số nguyên tố

b) Với p=2 ta có

4p^2+1=17 thỏa mãn; 6p^2+1=25 không thỏa mãn

Với p=3 ta có

4p^2+1=37 thỏa mãn; 6p^2+1=55 không thỏa mãn

Với p=5 ta có

4p^2+1=101 thỏa mãn; 6p^2+1=151 thỏa mãn

Với p>5 nên p có dạng 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4

Với p=5k+1=> 4p^2+1=4(25k^2+10k+1)+1=100k^2+40k+5 chia hết cho 5

=> p=5k+1 loại

Với p=5k+2 => 6p^2+1=6(25k^2+20k+4)+1=150k^2+120k+25 chia hết cho 5

=> p=5k+2 loại

Với p=5k+3=> 6p^2+1=6(25k^2+30k+9)+1=150k^2+180k+55 chia hết cho 5

=> p=5k+3 loại

Với p=5k+4=> 4p^2+1=4(25k^2+40k+16)+1=100k^2+160k+65 chia hết cho 5

=> p=5k+4 loại

=> Vậy p=5 thì 4p^2 + 1 và 6p^2 + 1 là những số nguyên tố.