Giải thích các bước giải:

`a)`

Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :

`AH` cạnh chung

`AB=AC` `(ΔABC` cân tại `A)`

`hat{ABH}=hat{ACH}` `(ΔABC` cân tại `A)`

`⇒` `ΔABH=ΔACH(c.g.c)`

`⇒` `hat{AHB}=hat{AHC}` ( 2 góc tương ứng )

Mà : `hat{AHB}+hat{AHC}=180^o` ( kề bù )

`⇒` `hat{AHB}=hat{AHC}=(180^o)/2=90^o`

`⇒` `AH⊥BC(đpcm)`

`b)`

Ta có :

`BH=CH(ΔABH=ΔACH)`

`BC=BH+CH`

`⇒` `BH=CH=(BC)/2=4/2=2cm`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` có :

`AH^2+BH^2=AB^2` ( định lí `py-ta-go` )

`⇒` `AH^2=AB^2-BH^2=6^2-2^2=32`

`⇒` `AH=\sqrt{32}=4\sqrt{2}cm`

`c)`

Xét `ΔABI` và `ΔACI` có :

`AI` cạnh chung

`AB=AC` `(ΔABC` cân tại `A)`

`hat{BAI}=hat{CAI}` `(ΔABH=ΔACH)`

`⇒` `BI=CI` ( 2 cạnh tương ứng ) `⇒ΔBIC` cân tại `I`

`d)`

Ta có :

`I` là giao điểm của `3` đường vuông góc 

Mà ta có : `AH⊥BC(cmt)` và `BH=CH(cmt)`

`⇒` `AH` là trung tuyến của `ΔABC`

`⇒` `I` là trọng tâm của `ΔABC`

`⇒` `IH=IE=IF=(đpcm)`

`e)`

Ta có : `I` là trong tâm của `ΔABC` 

Mà : `AB=AC` `(ΔABC` cân tại `A)`

`⇒` `AE=BE=AF=CF=(AB)/2=(AC)/2` 

Xét `ΔAEF` có :

`AE=AF(cmt)`

`⇒` `ΔAEF` cân tại `A`

`⇒` `hat{AEF}=hat{AFE}=(180^o-hat{A})/2(1)`

Ta có : `ΔABC` cân tại `A`

`⇒` `hat{ABC}=hat{ACB}=(180^o-hat{A})/2(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra :

`⇒` `hat{AEF}=hat{AFE}=hat{ABC}=hat{ACB}=(180^o-hat{A})/2`

`⇒` `hat{AEF}=hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2`

Mà 2 góc này lại ở vị trí đồng vị

`⇒` `EF` $//$ `BC`

Ta có : 

`EF` $//$ `BC(cmt)`

`M` là trung điểm `EF`

`H` là trung điểm `BC`

`⇒` 3 điểm `A;M;H` thẳng hàng