Đáp án:

\[\left\{ \begin{array}{l}
B\left( {4;0} \right)\\
C\left( { - 2; - 2} \right)
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Tam giác ABC vuông cân tại A có I là trung điểm BC nên AI vuông góc với BC

Phương trình đường thẳng AI đi qua \(A\left( {0;2} \right);I\left( {1; - 1} \right)\) là \(y =  - 3x + 2\)

Phương trình đường thẳng BC đi qua I và vuông góc với AI là \(y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}\)

B và C thuộc phương trình đường thẳng BC nên \(B\left( {b;\frac{1}{3}b - \frac{4}{3}} \right);C\left( {c;\frac{1}{3}c - \frac{4}{3}} \right)\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(AI = \frac{1}{2}BC = BI = CI\)

Ta có:

\(\overrightarrow {AI}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow AI = \sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IB} \left( {b - 1;\frac{1}{3}b - \frac{1}{3}} \right)\\
IB = IA \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{3}b - \frac{1}{3}} \right)^2} = 10\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 4\\
b =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow b = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B\left( {4;0} \right)\\
C\left( { - 2; - 2} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)