c) Ta thấy $\widehat{CDB}$ chắn cung BC

⇒$\widehat{CDB}=1/2 \stackrel\frown{AB}=1/2.180^o=90^o$

⇒ΔBDC vuông tại D

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông MBC có BD là đường cao:
   $MD.MC=MB^2$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAO có AI là đường cao:
   $MI.MO=MA^2$

Mà MA=MB ( tính chất 2 tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm)

⇒$MD.MC=MI.MO$ (Đpcm)

d) Ta  có: $\widehat{FAC}=\widehat{FEC}=90^o$

⇒ AECF nội tiếp đường tròn

⇒$\widehat{FCA}=\widehat{FEA}$  (1)

Mặt khác: $\widehat{MAO}=\widehat{MEO}=90^o$

⇒MAEO nội tiếp

⇒$\widehat{AEM}=\widehat{AOM}$

Lại có: MAOB nội tiếp ⇒ $\widehat{AOM}=\widehat{ABM}$

Mà: $\widehat{ABM}=\widehat{ACB}$ ( cùng chắn cung AB)

⇒$\widehat{AEM}=\widehat{ACB}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{FCB}=\widehat{FCA}+\widehat{ACB}=\widehat{FEA}+\widehat{AEM}=90^o$

⇒FC⊥OC

⇒FC là tiếp tuyến